第５回石川県総合模試解説【数学】

2021年第5回の石川県総合模試【数学】の問題分析＆解説です。

模試の問題を手元に置いて読んでください。

数学の必ず解いてほしい問題

大問1　【小問集合】
全体的に基礎知識を問う問題。
これらは落としてはいけません。
１問でも落とした人は小問集合問題集などで徹底的に基本を固めましょう。
（2）二次方程式の計算
２乗の項に分数が入っていたので迷った人もいるかともいますが
両辺に２を掛けてやれば、和積の公式で容易に求められるはず。
いろんなパターンになれておきましょう。

大問2　【規則性】
一見、難しいように思えますが、実際に使う数は「奇数列」だけなので、
単純に考えればいい問題です。
問題文をしっかり読んで対応しましょう。
（1）規則を見つける問題　　
奇数列は左から右に数が増え、偶数列は右から左へと逆に数が増加しますが、
問題では偶数列は無視しても構わないことに気づければ問題はないでしょう。
a,b,c,dの関係性は「a」は基準なのでそのまま。「b」は「a+2」であることは簡単にわかるでしょう。
マス目の数はｎマスなので、次のの奇数列の同じ位置にある「ｃ」は「a+2n」と表せます。（差が２列分ですから）
であれば、「ｄ」は「ｃ＋２」となるので「a+2n+2」となります。
（2）説明
（1）で４つの数を文字式で表せれば、そのまま代入し、計算すれば、答えは「4n」となりますので、
それを用いて説明すればよい。　　　　　

大問3　【二次関数】
（１）変域を求める問題。
「x」の変域が所謂「0（ゼロ）またぎ」なので、最大値or最小値が「0」になる。
あとは不等号の向きに注意！！
（2）
t=4を２つの二次関数の式に代入すれば点A、点Cの座標を求めることが出来る。

大問4　【方程式の文章題】
問題文が長いですが、しっかりと前から数字を拾っていけば立式できます。
Pセット、Qセットの数を、それぞれx,yと置き、一つは菓子Aの合計数＝２００個という式、
もう一つは合計金額の式を作り、連立すれば求めることが出来ます。

大問５【作図】
２点A,Bから等距離にある点Qは線分ABの垂直二等分線上になることをわかっていれば簡単。

大問６　【平面図形】
（１）三角形の内角の和＝180°、平行線を横切る線がある時の錯角、同位角はそれぞれ等しい。

大問７　【空間図形】
（１）どの部分が「直角」で、どの部分が「二等辺三角形」かを目印に考えましょう。

以上、
テストは『解ける問題を確実に、失点しないように取る。』ことが重要です。
基本的な単元の理解を疎かにしないようにしてください。

難しい問題の解説

今回のテストで大問6・7の（3）は、今年実施した他の回と比較してみると簡単だったように思います。
とはいえ、辺の比率から面積比や体積比に当てはめることに慣れていないと難しいかもしれません。
面積・体積の比を利用した問題は演習して、しっかりと理解しておいてください。
入試では、毎年大問6・7の（3）は難度が高く、時間もかかってしまいう問題となっていることが多いのですが
今回のように簡単な場合もあります。難しい問題は早めに見切りをつけ、全ての問題に目を通す必要があります。

大問6（3）
BDとGCが平行であることを説明する問題。
平行であることを説明するには錯覚・同位角が同じであることを言えればいいので
そのために△ADFと△ECGが合同であることを証明しなければいけません。

大問7（3）
今回の問題は辺の長さの比率から面積比・体積比の比率を考えることが重要。

問題で求めたい四面体ABEOは、言い換えると三角錐B-AEOであり、
これと頂点を同じとする三角錐B-ACDとの体積比を求める。
底面を△ACDとみると、三角錐B-AEOの底面AEOはAE：EC＝1：3、AO:ODは点OがADの中点なので1：1.
これらから△AEOの面積は△ACD×1/4×1/2となり、
三角錐B-ACDの体積は三角錐B-AEOの1/8であることがわかる。・・・①

四面体ECDFは言い換えれば三角錐E-CDFと言うことができ、
その体積は三角錐B-CDEの1/4である。（BF:FD＝3：1だから）
三角錐B-CDEは三角錐B-ACDの体積の3/4（AE:EC＝1：3だから）なので、
四面体ECDFは三角錐B-ACDの体積の3/4×1/4＝3/16であることがわかる。・・・②

①、②より1/8＝3/16×ｘと立式し、解くと求めることが出来ます。

詳細については、解答・解説をしっかりと読んでください。

さて、毎回、大問6（3）、大問7（3）は正答率が低いことが多いです。
平面図形や空間図形では「どこで分割するか。」などの着眼点が重要です。
演習量を増やし、対応力を身に付けましょう。